Lösung

Vorweg sei gesagt, es gibt eine Vielzahl von richtigen und lückenfreien Lösungen. Jedoch hängt alles von der ersten Wiegung ab. Hier muss man immer 8 Kugeln auswiegen und 4 bei Seite legen.

1. Wiegung 1

(xxxx _ xxxx) & xxxx 


1.1 Fall: Waage schlaegt nicht aus

liefert (oooo _ oooo) & xxxx


1.2 Fall: Waage schlaegt aus

liefert (---- _ ++++) & oooo


2. Wiegung 2

2.1 nach Fall 1.1 wiegt man 

(xxx _ ooo) & xooooo 


2.1.1 Fall: linke Seite steigt

liefert (--- _ ooo) & oooooo


2.1.2 Fall: linke Seite sinkt

liefert (+++ _ ooo) & oooooo


2.1.3 Fall: Waage schlaegt nicht aus

liefert (ooo _ ooo) & xooooo


2.2 nach Fall 1.2 wiegt man

(---++ _ -oooo) & ++


2.2.1 Fall: linke Seite steigt

liefert (---oo _ ooooo) & oo


2.2.2 Fall: linke Seite sinkt

liefert (ooo++ _ -oooo) & oo


2.2.3 Fall: Waage schlaegt nicht aus

liefert (ooooo _ ooooo) & ++


3. Wiegung 3

Nach Wiegung 2 hat man maximal drei infragekommende Kugeln, von denen 
man bereits weiss, ob es sich um leichtere oder schwerere handeln kann. 

Hat man z. B. +++, so wiegt man 

(+_+) & +

Dort wo die Waage sinkt, liegt die schwerere Kugel. 
Schlaegt die Waage nicht aus, handelt es sich um die Kugel, die man 
beiseite gelassen hat und sie ist SCHWERER. 

Hat man z. B. +-+, so wiegt man	

(+_+) & -

Dort wo die Waage sinkt, liegt die schwerere Kugel. 
Schlaegt die Waage nicht aus, handelt es sich um die Kugel, die man
beiseite gelassen hat und sie ist LEICHTER. 

Hat man eine Kugel x, so wiegt man

(x_o)

Sinkt die linke Seite, ist x schwerer und umgekehrt. 


Legende: 

x Kugel, von der man nichts weiss
o Kugel, von der man weiss, dass sie nicht leichter oder schwerer ist
- Kugel, von der man weiss, dass sie als leichtere Kugel in Frage kommt
+ Kugel, von der man weiss, dass sie als schwerere Kugel in Frage kommt

(_) kennzeichnet die Waage und 
& kennzeichnet die Kugeln, die man nicht wiegt

Diskurs

Interessant ist außerdem die Frage, ob das Rätsel auch mit 13 oder 14 Kugeln funktionieren würde.

Wenn man eine von 12 Kugeln ermitteln muss, gibt es 12 verschiedenen Faelle. Da aber jede zwei Unterfaelle hat - naemlich leichter oder schwerer - verdoppelt sich die Fallzahl auf 24. 24 Faelle entsprechen einem Informationsgehalt von

I = ld(24) = 4,5849625007212 bit

Haette man 13 Kugeln, sprich 26 Faelle, so waere

I = ld(26) = 4,7004397181411 bit

und bei 14 Kugeln ist

I = ld(28) = 4,8073549220576 bit.

(ld ist der logarithmus dualis, also der logarithmus zur Basis 2.)

Nun muss man sich fragen, wieviel Information man mit jeder Wiegung gewinnt. Die Schalenwaage kann 3 Faelle unterscheiden, was einem Informationsgewinn von

I = ld(3) = 1,5849625007212 bit

entspricht. Wiegt man 3-mal, so ermittelt man damit eine Maximalinformation von

I = 3*ld(3) = 4,7548875021635 bit

Jetzt wird es interessant. Die Informationbetrachtung zeigt, dass man erst ab 14 Kugeln mit Sicherheit nicht mehr die noetige Information mit 3 Wiegungen zusammenbekommt. Warum aber hat noch kein Mensch eine einwandfreie Loesung fuer 13 Kugeln gefunden?

Die Antwort darauf ist, dass die 3 Faelle der Waage nicht mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten. Die oben angewendete Formel I = ld(3) beschreibt den Fall der maximalen Information und das ist der, wo alle Faelle gleich wahrscheinlich sind.

Was lernen wir daraus?

1. Entweder es geht nicht mit 13 Kugeln oder alle, die sich bisher daran versucht haben, waren unfähig.

2. Mit 14 Kugeln geht es mit Sicherheit nicht mehr!