Er hat! Und zwar 2/3, während er beim Beharren auf seiner ersten Wahl nur 1/3 Gewinnchance hätte.
Warum aber nicht fifty-fifty, er hat doch die Wahl zwischen zwei Türen?
Die Ausgangsgewinnschance beträgt in jedem Zufallsexperiment der Sorte "1 aus 3" genau 1/3, so auch hier. Da sich alle Teilwahrscheinlichkeiten zu 1 addieren müssen, entfallen auf die beiden anderen Türen zusammen 2/3. Öffnet der Quizzmaster eine Tür mit Ziege, so konzentriert sich die gesamte Zweidrittelwahrscheinlichkeit auf die noch verbleibende, geschlossene Tür und die sollte man am besten auch auswählen weil die Gewinnchance doppelt so hoch ist.
Weil diese Begründung etwas oberflächlich ist, ein formaler Beweis. Zuerst muss man zwei Ereignisse formulieren.
A: Der Kandidat steht mit seiner 1. Wahl auf Gewinn. B: Der Quizzmaster öffnet eine Tür mit Ziege.
Daraus ergeben sich bedingte Ereignisse. A|B bedeutet allgemein das Eintreten von A unter der Voraussetzung, dass B bereits eingetreten ist. Hier kann man ansetzen
A|B: Der Kandidat steht mit seiner 1. Wahl auf Gewinn nach öffnen einer Ziegentür. B|A: Der Quizzmaster öffnet eine Ziegentür, nachdem der Kandidat mit seiner 1. Wahl auf Gewinn steht.
Für diese Ereignisse werden die Wahrscheinlichkeiten benötigt. Es gilt
P(A) = 1/3 ( Versuch "1 aus 3" ) P(B) = 1 ( Der Quizzmaster öffnet eine Ziegentür in jedem Fall ) P(B|A) = P(B) ( da B von A nicht statistisch abhängt ) Regel von Bayes P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B) = 1/3
Da die Gewinnchance der 1. Wahl gleich der Verlustchance der anderen Tür sein muss, ist die
Gewinnchance beim Wechsel P = 1 - P(A|B) = 1 - 1/3 = 2/3